A sequência de Fibonacci
Cada termo é a soma dos dois anteriores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, e segue. A lista abaixo e todas as razões dela são calculadas aqui, a partir da definição.
Atualizado em 7 de outubro de 2026
A sequência, e a razão entre os termos
A terceira coluna divide cada termo pelo anterior. A razão vai se aproximando da razão áurea φ = 1,6180339887…, alternando acima e abaixo conforme avança.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1.597, 2.584, 4.181, 6.765, …
| n | F(n) — Termo | Razão com o termo anterior |
|---|---|---|
| 1 | 1 | — |
| 2 | 1 | 1,000000000 |
| 3 | 2 | 2,000000000 |
| 4 | 3 | 1,500000000 |
| 5 | 5 | 1,666666667 |
| 6 | 8 | 1,600000000 |
| 7 | 13 | 1,625000000 |
| 8 | 21 | 1,615384615 |
| 9 | 34 | 1,619047619 |
| 10 | 55 | 1,617647059 |
| 11 | 89 | 1,618181818 |
| 12 | 144 | 1,617977528 |
| 13 | 233 | 1,618055556 |
| 14 | 377 | 1,618025751 |
| 15 | 610 | 1,618037135 |
| 16 | 987 | 1,618032787 |
| 17 | 1.597 | 1,618034448 |
| 18 | 2.584 | 1,618033813 |
| 19 | 4.181 | 1,618034056 |
| 20 | 6.765 | 1,618033963 |
| 21 | 10.946 | 1,618033999 |
| 22 | 17.711 | 1,618033985 |
| 23 | 28.657 | 1,618033990 |
| 24 | 46.368 | 1,618033988 |
| 25 | 75.025 | 1,618033989 |
| 26 | 121.393 | 1,618033989 |
| 27 | 196.418 | 1,618033989 |
| 28 | 317.811 | 1,618033989 |
| 29 | 514.229 | 1,618033989 |
| 30 | 832.040 | 1,618033989 |
| 31 | 1.346.269 | 1,618033989 |
| 32 | 2.178.309 | 1,618033989 |
| 33 | 3.524.578 | 1,618033989 |
| 34 | 5.702.887 | 1,618033989 |
| 35 | 9.227.465 | 1,618033989 |
| 36 | 14.930.352 | 1,618033989 |
| 37 | 24.157.817 | 1,618033989 |
| 38 | 39.088.169 | 1,618033989 |
| 39 | 63.245.986 | 1,618033989 |
| 40 | 102.334.155 | 1,618033989 |
φ = 1,6180339887
Fonte: Cálculo próprio a partir dos dados citados nesta página
A forma fechada, e como pegar um termo sem os outros
A fórmula de Binet dá F(n) direto: F(n) = (φⁿ − (−1/φ)ⁿ)/√5, com φ = (1+√5)/2. Parece que deveria produzir números irracionais, e as duas metades irracionais se cancelam exatamente, sobrando um inteiro toda vez. Em aritmética de ponto flutuante ela acerta o valor verdadeiro até uns F(70) e depois desvia, e é por isso que a lista daqui é feita por soma e não pela fórmula.
Duas consequências práticas do mesmo fato. F(n) é mais ou menos φⁿ/√5, então os termos crescem geometricamente — F(100) já tem 21 dígitos. E a razão F(n+1)/F(n) converge para φ rápido o suficiente para que F(17)/F(16) = 1597/987 já esteja certo em cinco casas.
Onde ela aparece de verdade, e onde não
Os exemplos honestos vêm de crescimento que repete uma regra. Girassóis, pinhas e abacaxis têm contagens de espirais que são números de Fibonacci consecutivos, porque folhas colocadas num ângulo de 360°/φ² se empacotam da forma mais apertada, e as plantas que fazem isso pegam mais luz. A sequência também conta coisas combinatórias reais: o número de maneiras de cobrir uma faixa 1×n com quadrados e dominós é exatamente F(n+1).
As alegações famosas que não se sustentam: o Partenon, a Mona Lisa, a concha do náutilo e os cartões de crédito não são construídos sobre φ. A concha é uma espiral logarítmica, mas o fator de crescimento dela não tem nada a ver com φ. O próprio problema dos coelhos de Fibonacci, do Liber Abaci de 1202, também não é biologia — ele supõe coelhos imortais que se reproduzem em horário fixo. A sequência é bonita o bastante sem o bordado.
Como ler esta página
Como ler os números desta página
Os valores de “A sequência de Fibonacci” vêm de fonte citada ao lado de cada seção, nunca de uma estimativa nossa sem origem.
De onde vêm os dados
Cada seção de “A sequência de Fibonacci” cita a sua fonte oficial; a data de verificação aparece no topo da página.
Ligado ao resto do módulo
“A sequência de Fibonacci” é uma entre as páginas de referência deste módulo; o glossário abaixo define os termos técnicos usados aqui.
Mais sobre A sequência de Fibonacci
Até onde a razão se aproxima de φ
F(30) já vale 832.040, e a razão F(31)/F(30) dá 1,618033989 — uma aproximação de φ correta em nove casas decimais com um termo só de distância. F(100), calculado pela fórmula de Binet em “A sequência de Fibonacci”, já tem 21 dígitos.
Palavras desta página
Incerteza padrão
Margem que acompanha um valor medido, geralmente escrita entre parênteses nos últimos dígitos. Uma constante "exata por definição" tem incerteza padrão zero; uma medida, como a constante gravitacional G, carrega sempre alguma.
Definição padronizada por BIPM — Bureau International des Poids et Mesures (SI) · Incerteza padrão
Mol
Unidade de contagem do SI para átomos, moléculas ou outras entidades: um mol são exatamente 6,02214076 × 10²³ delas, pela definição fixada em 2019. É o que liga uma massa em gramas a um número de partículas.
Definição padronizada por BIPM — Bureau International des Poids et Mesures (SI) · Mol
Número atômico
Quantidade de prótons no núcleo de um átomo, representada pela letra Z. É esse número, e não a massa, que define de qual elemento se trata: todo átomo com 8 prótons é oxigênio, com 8 ou com 18 nêutrons.
Definição padronizada por IUPAC · Número atômico
Massa atômica
Peso médio dos átomos de um elemento, ponderado pela abundância de cada isótopo na natureza, em unidades de massa atômica. Para 14 elementos a CIAAW publica um intervalo em vez de um valor único, porque essa abundância varia um pouco de amostra para amostra.
Definição padronizada por CIAAW — Commission on Isotopic Abundances and Atomic Weights · Massa atômica