Die Fibonacci-Folge
Jedes Glied ist die Summe der beiden vorigen: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, und so weiter. Die Liste unten und alle Verhältnisse darin werden hier aus der Definition berechnet.
Aktualisiert am 7. Oktober 2026
Die Folge, und das Verhältnis der Glieder
Die dritte Spalte teilt jedes Glied durch das vorige. Das Verhältnis nähert sich dem goldenen Schnitt φ = 1,6180339887… und pendelt dabei abwechselnd darüber und darunter.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1.597, 2.584, 4.181, 6.765, …
| n | F(n) — Glied | Verhältnis zum vorigen Glied |
|---|---|---|
| 1 | 1 | — |
| 2 | 1 | 1,000000000 |
| 3 | 2 | 2,000000000 |
| 4 | 3 | 1,500000000 |
| 5 | 5 | 1,666666667 |
| 6 | 8 | 1,600000000 |
| 7 | 13 | 1,625000000 |
| 8 | 21 | 1,615384615 |
| 9 | 34 | 1,619047619 |
| 10 | 55 | 1,617647059 |
| 11 | 89 | 1,618181818 |
| 12 | 144 | 1,617977528 |
| 13 | 233 | 1,618055556 |
| 14 | 377 | 1,618025751 |
| 15 | 610 | 1,618037135 |
| 16 | 987 | 1,618032787 |
| 17 | 1.597 | 1,618034448 |
| 18 | 2.584 | 1,618033813 |
| 19 | 4.181 | 1,618034056 |
| 20 | 6.765 | 1,618033963 |
| 21 | 10.946 | 1,618033999 |
| 22 | 17.711 | 1,618033985 |
| 23 | 28.657 | 1,618033990 |
| 24 | 46.368 | 1,618033988 |
| 25 | 75.025 | 1,618033989 |
| 26 | 121.393 | 1,618033989 |
| 27 | 196.418 | 1,618033989 |
| 28 | 317.811 | 1,618033989 |
| 29 | 514.229 | 1,618033989 |
| 30 | 832.040 | 1,618033989 |
| 31 | 1.346.269 | 1,618033989 |
| 32 | 2.178.309 | 1,618033989 |
| 33 | 3.524.578 | 1,618033989 |
| 34 | 5.702.887 | 1,618033989 |
| 35 | 9.227.465 | 1,618033989 |
| 36 | 14.930.352 | 1,618033989 |
| 37 | 24.157.817 | 1,618033989 |
| 38 | 39.088.169 | 1,618033989 |
| 39 | 63.245.986 | 1,618033989 |
| 40 | 102.334.155 | 1,618033989 |
φ = 1,6180339887
Quelle: Cálculo próprio a partir dos dados citados nesta página
Die geschlossene Form, und wie man ein Glied einzeln bekommt
Die Formel von Binet liefert F(n) direkt: F(n) = (φⁿ − (−1/φ)ⁿ)/√5 mit φ = (1+√5)/2. Sie sieht aus, als müsste sie irrationale Zahlen ergeben, doch die beiden irrationalen Hälften heben sich exakt auf und lassen jedes Mal eine ganze Zahl übrig. In Gleitkommaarithmetik stimmt sie bis etwa F(70) und weicht dann ab, weshalb die Liste hier durch Addition entsteht und nicht über die Formel.
Zwei praktische Folgen derselben Tatsache. F(n) ist etwa φⁿ/√5, die Glieder wachsen also geometrisch: F(100) hat schon 21 Stellen. Und das Verhältnis F(n+1)/F(n) konvergiert so schnell gegen φ, dass F(17)/F(16) = 1597/987 bereits auf fünf Dezimalstellen stimmt.
Quelle: OEIS — The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
Wo sie wirklich auftaucht, und wo nicht
Die ehrlichen Beispiele stammen aus Wachstum, das eine Regel wiederholt. Sonnenblumenköpfe, Kiefernzapfen und Ananas haben Spiralzahlen, die aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen sind, weil Blätter in einem Winkel von 360°/φ² am dichtesten packen und Pflanzen, die das tun, mehr Licht einfangen. Die Folge zählt außerdem echte kombinatorische Dinge: die Anzahl der Möglichkeiten, einen 1×n-Streifen mit Quadraten und Dominos zu belegen, ist genau F(n+1).
Die berühmten Behauptungen, die nicht halten: Parthenon, Mona Lisa, Nautilusschale und Kreditkarten sind nicht auf φ gebaut. Die Schale ist eine logarithmische Spirale, ihr Wachstumsfaktor hat mit φ aber nichts zu tun. Auch Fibonaccis eigenes Kaninchenproblem aus dem Liber Abaci von 1202 ist keine Biologie — es setzt unsterbliche Kaninchen voraus, die nach festem Plan Nachwuchs bekommen. Die Folge ist ohne diese Stickerei schön genug.
Quelle: OEIS — The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
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Mehr zu „Die Fibonacci-Folge“
Wie nah das Verhältnis an φ herankommt
F(30) beträgt bereits 832.040, und F(31)/F(30) ergibt 1,618033989 — eine auf neun Nachkommastellen genaue Näherung an φ, nur ein Glied entfernt. F(100), berechnet mit Binets Formel auf „Die Fibonacci-Folge“, hat schon 21 Ziffern.
Begriffe dieser Seite
Standardunsicherheit
Spanne, die einem gemessenen Wert beigefügt wird, meist in Klammern bei den letzten Ziffern. Eine Konstante, die „exakt per Definition" ist, hat die Standardunsicherheit null; eine gemessene, wie die Gravitationskonstante G, trägt immer eine.
Genormte Definition von BIPM — Bureau International des Poids et Mesures (SI) · Standardunsicherheit
Mol
Zähleinheit des SI für Atome, Moleküle oder andere Teilchen: ein Mol sind genau 6,02214076 × 10²³ davon, nach der seit 2019 festgelegten Definition. Es verbindet eine Masse in Gramm mit einer Teilchenzahl.
Genormte Definition von BIPM — Bureau International des Poids et Mesures (SI) · Mol
Ordnungszahl
Die Zahl der Protonen im Atomkern, geschrieben Z. Diese Zahl, nicht die Masse, legt fest, um welches Element es sich handelt: jedes Atom mit 8 Protonen ist Sauerstoff, ob mit 8 oder 18 Neutronen.
Genormte Definition von IUPAC · Ordnungszahl
Atommasse
Mittleres Gewicht der Atome eines Elements, gewichtet nach der Häufigkeit jedes Isotops in der Natur, in atomaren Masseneinheiten. Für 14 Elemente veröffentlicht die CIAAW ein Intervall statt eines einzigen Werts, weil diese Häufigkeit von Probe zu Probe etwas schwankt.
Genormte Definition von CIAAW — Commission on Isotopic Abundances and Atomic Weights · Atommasse
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